【摘要】:面板分位数回归模型具有面板数据模型和截面分位数模型的共同优势，而目前国内对于面板分位数回归模型的研究和应用才刚刚开始。文章对于目前已有的以及正在研究中的面板分位数回归模型做了一个综述，其中包括静态固定效应分位数模型、工具变量模型以及动态面板分位数模型，希望对于推动面板分位数回归模型在我国的广泛应用有所帮助。
【关键词】:面板分位数；发展；综述
0 引言
面板数据模型和分位数回归模型被广泛的应用于经济学文献当中。它们具有各自的优点。面板模型不仅可以控制个体异质性，具有更多的信息和更大的变异等优点，而且更适合于研究动态调整过程，还可以识别、测量单纯使用横截面或时间序列数据无法估计的影响[1]。分位数回归则不对误差项的分布做具体的假设，对于非正态分布或异常值出现时的估计具有较强的耐抗性，可以更清楚的阐释因变量的整个分部以及处理数据的异质性问题（王新宇，2010）[2]。Koenker（2004）[3]首次将两者结合，构建了面板数据分位数回归模型，采用分位数回归的方法对面板数据模型进行参数估计。通过将分位数回归和面板数据模型相结合对变量之间的关系进行研究，可以更好地在控制个体差异的基础上对因变量条件分布的不同分位点上各种变量之间的关系进行分析[2]。因此面板数据回归模型，面板数据分位数回归是一种更灵活、更稳健的分析方法[3]。
1 静态面板分位数回归模型
1.1 固定效应模型
Koenker（2004）[3]给出的固定效应面板分位数回归模
型的一般形式为：
其中，yit 是第 i 个截面在第 t 时期因变量的观测值，αi 表示不被其他变量控制的不可观测异质性且其不依赖于分位数 τ 的值，xit 表示第 i个截面在第 t 时期自变量的观测值，其中 xit 依赖于分位数 τ 的值。τ 表示分位数，eit表示随机误差项。
Koenker（2004）[3]认为，在分位数回归形式的面板数据模型（1）中，α 将于因变量的条件分位数相对应。为了考虑个体固定效应，以便更好的估计截面的分位数方程，Roger Koenker（2004）[3]引入了 l1 惩罚项 åiN= 1|αi | 替代传统的高斯惩罚项，其中 åiN= 1|αi | 采用加性构造，隐含独立性假设。l1 惩罚项比传统的高斯 l2 惩罚项更具有统计和计算优势。这个选择既保持了线性规划形式，又保持了结果设计矩阵的稀疏性。于是，Koenker（2004）给出了估计面板数据分位数回归模型惩罚函数式：
其中，ρτ (u) = u(τ – I(u < 0)) ,表示线性分段分位数损失
函数，权重 wk控制 q 分位数{τ1 …… τq}对参数 αi的估计
值的相关影响。另外，Wang et al（2011）[4]还给出了面板分位数回归模型的经验似然估计值。虽然许多学者都对经验似然函数做过介绍，但是Wang et al（2011）[4]认为对于面板数据分位数回归模型，一般文献中提到的似然比不再适用，因为它们忽略了截面内部的相关性，使得经验似然比统计量失去了吸引力。
为了适应截面内部的相关性并获得更精确的估计值，
Wang et al（2011）使用了平滑经验似然估计过程替换分位数得分函数，得到 β 的经验对数似然率和极大经验似然函数。其中，β 的经验对数似然率为：
其中，p1 pn 是非负数值，并满足 åin= 1 pi = 1 。通过似然函数可以得到 β 的经验对数似然率估计值和极大Ù= arg min l(β) 和经验似然函数估计值分别为 β ELβ Î Ù= arg min lh(β) 。β SELβ Î Θ
1.2 工具变量估计
Harding and Lamarche（2009）[5]对含有内生自变量的面板数据分位数回归模型进行了研究，提出了面板数据分位数回归模型的工具变量估计方法。Harding and Lamarche （2009）建立的模型如下：
第一个方程是经典的面板数据模型，其中，yit 是个体 i 在 t 时期的因变量。dit 是内生变量向量，xit 是外生变量向量，uit 是随机误差项。方程（4）中内生变量 dit 和工具变量 wit 是相关的，工具变量 wit 和随机误差项 uit 是随机独立的。变量 vit 与 uit 是相关的。方程（5）描述了变量与个体效应相关的典型情况。变量Î 被假定与随机误差项 uit 是随机独立的。于是，上面模型可由下面的随机系数模型表示：
其中，zit 是个体效应 αi 的指示变量，u(×) 服从均匀分布，τ 是因变量条件分布的第 τ 分位数。因此，可以得到条件工具变量分位数关系的目标函数为：
w 是内生变量 d 的工具变量 w 的最小二乘规划，xit 是外生变量，z 是个体效应向量。Harding and Lamarche（2009）通过最小化目标函数求得参数估计值。
2 动态面板分位数回归模型
2.1 固定效应动态面板模型
Galvao and Montes-Rojas（2010）[6]建立的动态面板数据条件分位数函数模型如下：
其中，yit 是因变量，yit – 1 是滞后因变量，xit 是外生变量，η = (η1 ηN ) 为个体效应。因为模型中含有滞后因变量，如果使用 l1 惩罚估计方法，则 ηi 的存在会引起伴随参数问题。因此面板数据回归模型，Galvao and Montes-Rojas（2010）提出了一个新的动态面板数据工具变量估计方法，动态面板分位数回归模型的偏误将会通过工具变量 w 的选择而改善。w 与 y 的滞后项相关，但与新息独立。最后作者通过引入惩罚工具变量分位数回归固定效应模型，给出了求
Galvao（2011）[7]认为，在一般情况下，时间序列维度T相对于个体N是较小的，因而，估计依赖于 τ 分布的个体效应是比较困难的。在动态面板最小二乘估计中，观测不到的初始值会在分位数回归固定效应估计的动态过程中引起偏误。Galvao（2011）还使用工具变量方法对动态面板数据分位数回归模型进行了估计。他们通过求解下式
2.2随机效应动态面板分位数模型
自从Koenker(2004) 证明了在面板分位数回归模型中加入一个惩罚项具有很大的优势。在研究面板数据分位数回归的许多文献中都使用 l1 惩罚。但是，Feng（2011）[8]认为 l1 惩罚更像一个模型的选择工具，使得它更加合适于固定效应模型。不适用于随机效应模型。于是，Feng（2011）[8]提出了一个 l2 惩罚的动态随机效应面板数据分位数回归模型。
Feng（2011）首先给出了动态面板分位数回归的基本模型：
其中，xit 是严格外生变量，uit 是 i.i.d 样本，并满足条
件分位数Quit (τ|xit Ft – 1) = 0，Ft 是在 t 期的信息，并且 αi股从 N(0 σ2) 分布并与所有的 xit ，uit 不相关。因而（5）式是 yit 在 τ 分位数上的 AR(1)分位数回归过程。Feng（2011）通过最小化
3 结论
本文介绍了若干面板数据分位数回归模型设定和估计方法，其中包括静态面板固定效应模型、工具变量估计方法和动态面板分位数模型。目前，面板分位数模型的发展非常迅速，面板数据分位数回归模型远不限于以上所列举模型。最新发展还有平滑面板分位数回归模型，空间面板分位数回归模型，面板分位数处理效应模型，面板分位数 logit模型等，限于篇幅我们不在本文中进行论述。
面板分位数模型具有分位数模型和面板模型的有点，不仅可以控制个体异质性，具有更多的信息，更大的变异，变量间更弱的共线性，还可以识别、测量单纯使用横截面或时间序列数据无法估计的影响，对于非正态分布或异常值出现时的估计具有较强的耐抗性，可以提供更为完整信息，更清楚的阐释因变量的整个分部以及处理数据的异质性问题。在我国，面板数据分位数回归模型还没有得到广发的应用，希望上述介绍能够促进面板分位数回归模型在我国学术界的应用。
参考文献：
[1]巴尔塔基.面板数据计量经济分析[M].北京：中国人民大学出版社，2010.
[2]王新宇.分位数回归理论及其在金融风险测量中的应用[M].北京：经济科学出版社，2010.
[3]Koenker，R.Quantile Regression for Longitudinal Data[J].Journal of Multivariate Analysis，2004，(91).
[4]Yeh,C.，Wang,K.，Suen,Y. A quantile Framework for Analysing the Links Between Inflation Uncertainty and Inflation Dynamics across Countries[J].Applied Economics，2011,(43).
[5]Harding,M.，Lamarche,C.A Quantile Regression Approach for Esti⁃ mating Panel Data Models Using Instrumental Variables[J].Economics Letters,2009,(104).
[6]Galvao,A.F.，Montes-Rojas,G.V.Penalized Quantile Regression for Dynamic Panel Data[J].Journal of Statistical Planning and Inference， 2010,(140).
[7]Galvao,A.F.Quantile Regression for Dynamic Panel Data with Fixed Effects[J].Journal of Econometrics，2011,(164).
[8]Feng,Q. L2 Penalised Quantile Regression for Dynamic Random Ef⁃ fects Panel Data Models[C].Work Paper,2011
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